Эта статья появилась в результате переписки с одним из моих читателей (paul.first@***). Спасибо ему за интерес и вопросы.
Re: Статья понравилась! А не могли бы вы сказать, чем актуальны фракталы?
Большинство систем в природе сочетают два свойства:
Это самые разные системы, начиная от кристаллов и просто кластеров (различного рода скоплений, таких как облака, реки, горы, материки, звёзды), заканчивая экосистемами и биологическими объектами (от листа папоротника до человеческого мозга).
Фракталы являются как раз такими объектами: с одной стороны — сложные (содержащие бесконечно много элементов), с другой стороны — построенные по очень простым законам. Благодаря этому свойству, фракталы обнаруживают много общего со многими природными объектами. Но фрактал выгодно отличается от природного объекта тем, что фрактал имеет строгое математическое определение и поддаётся строгому описанию и анализу.
Поэтому теория фракталов позволяет предсказать скорость роста корневых систем растений, трудозатраты на осушение болот, зависимость массы соломы от высоты побегов и многое другое.
Летят два облака. Первое отбрасывает тень площадью A, второе — B. Эти облака сливаются в одно. Какова будет площадь C тени этого нового облака?
Ответив на этот вопрос, можно уже делать выводы о том, какова же будет суммарная облачность.
Если бы облака имели бы размерность 2 (то есть были бы плоскими), то они бы просто объединись и ответ бы был просто суммой
То есть два облака складываются как два куска обоев.
Но это не верно. Суммарное облако станет не только шире и длинней слагаемых, оно станет ещё и выше. При той же массе площадь будет меньше суммарной.
Рассматривая облака, уместно считать мерой массу, так как именно этот параметр лучше всего удовлетворяет определению меры.
Если бы размерность облаков была бы 3 (то есть они бы были монолитные и без пустот), то ответ бы был
То есть
Если справедливость этого выражения вызывает у вас сомнения, то предлагаю следующую аргументацию (мне бы не хотелось пускаться тут в точное доказательство). Давайте предположим, что облака имеют форму кубов. (Кубы — монолитные и трёхмерные объекты; с таким же успехом можно было бы взять шары, пирамиды или любые другие тела.) Пусть первое облако-куб имеет сторону a метров, а второе — b метров. Когда облака сложатся, то суммарное облако-куб будет иметь сторону c метров и объём равный сумме объёмов исходных облаков:
Предположим, что площади теней кубов равны площадям их сторон (это не ограничивает общности рассуждений). Тогда для площадей имеем следующие выражения:
В результате получаем выражение
Но и этот ответ не верен, потому, что облака не монолитные.
Оказывается, что размерность облаков не целая — 2.3. Правильная формула такова:
Как видите, у нас есть теория, описывающая объекты нецелой размерности и есть сами объекты и мы успешно применили теорию к этим объектам.
Конечно, одной этой формулы не достаточно для предсказания погоды. В реальности облака не только сливаются и разделяются, они появляются и исчезают, растут и уменьшаются, меняют свою структуру... Наша формула описывает лишь одну из составляющих всех возможных превращений. Но эту составляющую она описывает правильно.